Durée
Partim 1 : Outils d'analyse pour les probabilités : 6h Th
Partim 2 : Théorie des probabilités : 20h Th
Nombre de crédits
| Bachelier en sciences informatiques | 5 crédits |
Enseignant
Partim 1 : Outils d'analyse pour les probabilités : Laurent Loosveldt
Partim 2 : Théorie des probabilités : Laurent Loosveldt
Langue(s) de l'unité d'enseignement
Langue française
Organisation et évaluation
Enseignement au premier quadrimestre, examen en janvier
Horaire
Unités d'enseignement prérequises et corequises
Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme
Contenus de l'unité d'enseignement
Ce cours vise à présenter les éléments fondamentaux de la théorie des probabilités. Le premier chapitre présente le formalisme des événements ainsi qu'une première approche intuitive des "probabilités de tous les jours" via l'analyse combinatoire. Afin de développer une approche plus précise, le deuxième chapitre vise à acquérir quelques outils de l'analyse mathématique qui servent de base au développement axiomatique des probabilités. Cette approche formelle est l'objet du chapitre 3 qui se concentre principalement sur la présentation des notions de mesure de probabilité, probabilité conditionnelle et l'indépendance d'événements. Les variables aléatoires, qui sont certainement les objets les plus importants des probabilités, sont étudiées au chapitre 4 tandis que le chapitre 5 est consacré à l'indépendance de ces variables aléatoires. Au chapitre 6, nous proposons une première approche de la définition de l'espérance conditionnelle. Enfin, le chapitre 7 présente trois "théorèmes limites" qui seront de première importance lors du développement de la statistique inférentielle.
Partim 1 : Outils d'analyse pour les probabilités
La théorie des probabilités reposant sur certains notions fondamentales d'analyse mathématique, une partie de ce cours se consacre à étudier ces dernières. Il y sera présenté :
- les séries (notamment utile pour définir l'axiomatique de Kolmogorv)
- les intégrales doubles (précieuses pour l'étude des couples de variables aléatoires)
- l'exponentielle et l'intégrale de Gauss (indispensable pour définir la loi normale)
Partim 2 : Théorie des probabilités
Une première approche de la théorie des probabilités sera proposé dans le cas fini équiprobable, en s'appuyant sur l'analyse combinatoire. Une fois que nous aurons acquis les outils d'analyse mathématique nécessaire, nous pourrons aborder la théorie des probabilités de manière plus formelle. Ainsi, le cours s'attardera sur
- l'axiomatique de Kolmogorov
- les probabilités conditionnelles (en ce compris la formule de Bayes et la loi des probabilités totales)
- les variables aléatoires et leur espérance/variance
- les lois bivariées et l'indépendance de variables aléatoires
- l'espérance conditionnelle
- la loi des grands nombres, le Théorème Central Limite et le lemme de Borel-Cantelli
Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement
L'étudiant sera capable de reconnaître et résoudre des problèmes probabilistes simples. Il aura également acquis les compétences nécessaires pour appliquer des probabilités dans le cadre des processus stochastiques élémentaires (cours MATH1222-3) ainsi que la statistique inférentielle (cours MATH0487-2).
Partim 1 : Outils d'analyse pour les probabilités
L'étudiant sera capable de manipuler les objects d'analyse listés ci-dessus dans le cadre de la résolution de problèmes probabilistes simples
Partim 2 : Théorie des probabilités
Il sera attendu que l'étudiant maitrise les notions de probabilité abordées dans le cours et listées ci-dessus. En particulier, il sera capable de
- présenter la théorie relative à ces notions
- reconnaitre et résoudre des problèmes de probabilité simple
Savoirs et compétences prérequis
Algèbre élémentaire, analyse mathématique élémentaire (cours de MATH2007 et MATH2019 du bloc 1)
Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement
Séances de cours théoriques et séances d'exercices supervisés.
Mode d'enseignement (présentiel, à distance, hybride)
Cours donné exclusivement en présentiel
Informations complémentaires:
Présentiel.
Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours
Plate-forme(s) utilisée(s) pour les supports de cours :
- eCampus
- MyULiège
Informations complémentaires:
Les notes du cours sont disponibles sur eCampus.
Les slides utilisés ainsi que les listes d'exercices seront également mis en ligne sur eCampus
Références principales :
- Michael Baron, Probability and Statistics for computer scientists, 3rd Edition, CRC Press, 2019.
- J.K Blitzstein et J. Hwang, Introduction to Probability, Taylor and Francis, 2019.
Modalités d'évaluation et critères
Examen(s) en session
Toutes sessions confondues
- En présentiel
évaluation écrite ( questions ouvertes )
Informations complémentaires:
L'examen écrit sera composé de deux parties :
- une partie consacrée à la théorie lors de laquelle il sera attendu que l'étudiant définisse des notions et démontre des résultats vus au cours tout en sachant produire de petits raisonnements autour de ceux-ci.
- une partie consacrée aux exercices lors de laquelle il sera attendu que l'étudiant résolve des problèmes de probabilité similaire à ceux qui ont été présentés aux séances d'exercices.
Stage(s)
Remarques organisationnelles et modifications principales apportées au cours
Contacts
Laurent Loosveldt
Institut de Mathématique - B37 - Bureau 0/59
Quartier Polytech 1
Allée de la découverte, 12
4000 Liège (Sart-Tilman)
Tél. : (04) 366.92.56.
E-mail : l.loosveldt@uliege.be