Durée
30h Th, 10h Pr, 20h TD
Nombre de crédits
Enseignant
Langue(s) de l'unité d'enseignement
Langue française
Organisation et évaluation
Enseignement au premier quadrimestre, examen en janvier
Horaire
Unités d'enseignement prérequises et corequises
Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme
Contenus de l'unité d'enseignement
Ce cours est la suite du cours de géométrie différentielle I, assuré en bachelier en sciences mathématiques.
Nous avons essentiellement vu les variétés plongées. Ce n'est pas suffisant pour étudier la géométrie différentielle. La première partie du cours passe en revue leur généralisation : la notion (générale) de variété, vue comme un espace topologique muni d'une classe d'équivalence d'atlas.
On reverra dans ce cadre plus général les notions de cartes d'atlas, d'applications différentiables, d'espace tangent, de différentielle. Ce n'est pas une simple révision : si on s'inspire de ce qui a été fait plus tôt, on doit changer les définitions, les résultats, et le point de vue.
Nous étudierons ensuite les fibrés tangents, cotangents, et tensoriels si le temps le permet. On continuera avec les champs de vecteurs et leurs courbes intégrales, qui permettent entre autres de définir la dérivée de Lie. Cette première partie se terminera par une brève étude des premières propriétés des groupes de Lie, en particulier la définition de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
Une deuxième partie du cours sera abordée si le temps le permet. Elle a pour but d'étudier quelques modèles de géométrie hyperbolique, après une étude rapide des géodésiques.
Pour bien insister sur le fait qu'il s'agit de comprendre en profondeur et de façon hypothético-déductive des concepts qui prennent en compte des situations abstraites, et non de voir approxiamtivement quelque phénomène sur un exemple, on fera le moins possible d'illustrations visuelles.
Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement
Les étudiants auront acquis quelques notions de géométrie différentielle.
Savoirs et compétences prérequis
Les cours de géométrie du bachelier en science mathématiques, en particulier celui de géométrie différentielle I, sont des prérequis incontournables. Il est conseillé d'avoir des notions de topologie générale, et d'être à l'aise avec l'algèbre linéaire (voir le cours compléments d'algèbre linéaire).
Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement
Cours ex-cathedra pour la théorie, donné au tableau.
Quelques exercices seront également abordés dans le cadre du cours théoriques. On pourra demander des préparations et les étudiant.e.s pourront être envoyé.e.s au tableau pour les résoudre.
Les étudiant.es pourront également être amené.e.s à lire par eux-mêmes et développer des parties du cours de géométrie différentielle du Prof. M. De Wilde (qui seront fournies à cet effet), et à les présenter devant la classe.
Mode d'enseignement (présentiel, à distance, hybride)
Cours donné exclusivement en présentiel
Informations complémentaires:
L'ensignement est prévu en présentiel uniquement. Vu les activités de présentation requises, la présence au cours est obligatoire.
Supports de cours, lectures obligatoires ou recommandées
Informations complémentaires:
Il n'y aura pas de notes de cours (sauf pour les parties que les étudiant.e.s devront lire et développer par eux-mêmes), pas de slide, pas de liste de questions.
Modalités d'évaluation et critères
Examen(s) en session
Toutes sessions confondues
- En présentiel
évaluation écrite ( questions ouvertes ) ET évaluation orale
Informations complémentaires:
L'évaluation est classique. On pourra demander des exercices à faire de manière écrite, pour évaluer la bonne compréhension du cours, et un examen de théorie, qui sera organisé de manière orale ou écrite.
Stage(s)
Remarques organisationnelles et modifications principales apportées au cours