Durée
30h Th, 10h Pr, 20h Proj.
Nombre de crédits
Enseignant
Langue(s) de l'unité d'enseignement
Langue française
Organisation et évaluation
Enseignement au deuxième quadrimestre
Horaire
Unités d'enseignement prérequises et corequises
Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme
Contenus de l'unité d'enseignement
L'étude des processus stochastiques et l'analyse stochastique qui y est associée
font partie des disciples les plus modernes des mathématiques. Elles sont d'ailleurs
toujours en plein essor. Ce cours est destiné à donner les armes pour s'ouvrir à ce
champ de recherches passionnant mais exigent.
L'objectif de ce cours est de définir les processus stochastiques et de présenter
quelques outils fondamentaux pour aborder leur connaissance fine. Un intérêt tout
particulier est mis dans l'étude du mouvement Brownien et des martingales.
Dans le Chapitre 1, nous présentons les notions de base pour ce cours, ainsi que
quelques premiers exemples de processus, en guise de mise en bouche. Nous explicitons
également la démonstration du théorème de consistance de Kolmogorov.
Le Chapitre 2 s'intéresse à quelques aspects spécifiques aux processus à temps
continus, dont le théorème de Kolmogorov-Centsov qui donne une condition pour garantir
la régularité des trajectoires.
Dans le Chapitre 3, après s'être attardé à quelques généralités concernant les
processus gaussiens, nous définissons et caractérisons le mouvement Brownien. Une
construction, sous forme de série aléatoire, est également présentée. Finalement, nous
listons quelques processus apparentés au mouvement Brownien, en établissant quelques
premières propriétés.
Sous un autre registre, le Chapitre 4 est principalement consacré à l'étude des
martingales. On introduit d'abord les notions de filtrations et temps d'arrêt, avant de
s'intéresser spécifiquement aux martingales. L'objectif principal de ce chapitre est de
présenter le "Martinagle Stopping Theorem", les inégalités de Doob et l'étude de la
convergence des martingales, aussi bien en temps discret que continu.
Finalement, dans le Chapitre 5, nous mettons à profit divers résultats rencontrés
dans le cours afin de présenter quelques propriétés supplémentaires du mouvement
Brownien.
Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement
L'objectif du cours est de donner les clefs pour comprendre et manipuler les processus stochastiques.
Savoirs et compétences prérequis
Une base mathématique solide est indispensable (niveau BA math minimum). Les notions vues lors des différents cours de probabilités ainsi que dans le cours de calcul intégral seront utilisées.
Le cours d'introduction aux processus stochastiques est un atout mais n'est pas indispensable.
Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement
Le cours consiste en des leçons au tableau ou à distance, des séances d'exercices (sous forme de classe inversée) et un travail personnel.
Mode d'enseignement (présentiel, à distance, hybride)
Cours donné exclusivement en présentiel
Explications complémentaires:
La théorie sera exposée lors de séances de cours en présentiel.
Les étudiants seront invités à résoudre des exercices, seuls ou en groupe, et ses exercices seront corrigés et discutés durant des séances de cours en présentiel
Supports de cours, lectures obligatoires ou recommandées
Plate-forme(s) utilisée(s) pour les supports de cours :
- eCampus
- MyULiège
Informations complémentaires:
Les notes de cours sont disponibles sur eCampus
Références principales :
- Billingsley, Patrick (1999) Convergence of probability measures. New York ; John Wiley & Sons
- Breton, Jean-Christophe (2018) Processus stochastiques - M2 Mathématiques. Université de Rennes 1
- Durrett, R. (2005) Probability : Theory and Examples. 3rd edition, Duxbury
- Ferguson, Thomas S. (2017). A course in large sample theory. Routledge
- Liggett, Thomas M. (2010) Continuous time Markov processes. Vol. 113. American Mathematical Society
- Nourdin, Ivan, and Giovanni Peccati. (2012) Normal approximations with Malliavin calculus : from Stein's method to universality. Vol. 192. Cambridge University Press, 2012.
Modalités d'évaluation et critères
Examen(s) en session
Toutes sessions confondues
- En présentiel
évaluation orale
Travail à rendre - rapport
Informations complémentaires:
L'examen sera composé de 2 parties:
- un examen oral portant sur la théorie et les exercices,
- la réalisation d'un travail (seul ou par groupe de 2) à rendre une semaine avant l'examen.
Stage(s)
Remarques organisationnelles et modifications principales apportées au cours
Cours enseigné en français lors des années impaires uniquement
Ce cours est cyclisé avec MATH0514-1 Analyse stochastique. Bien qu'il soit très intéressant de suivre les deux cours (sur les deux années du master) pour acquérir une connaissance plus complète en analyse stochastique, le contenu des cours est pensé de sorte qu'ils soient indépendants.
Contacts
Laurent Loosveldt
Institut de Mathématique - B37 - Bureau 0/59
Quartier Polytech 1
Allée de la découverte, 12
4000 Liège (Sart-Tilman)
Tél. : (04) 366.92.56.
E-mail : l.loosveldt@uliege.be