Durée
30h Th, 20h Pr
Nombre de crédits
| Bachelier en sciences mathématiques | 5 crédits |
Enseignant
Langue(s) de l'unité d'enseignement
Langue française
Organisation et évaluation
Enseignement au premier quadrimestre, examen en janvier
Horaire
Unités d'enseignement prérequises et corequises
Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme
Contenus de l'unité d'enseignement
Le cours comporte trois chapitres distincts mais classiques en algèbre linéaire.
1)Le premier chapitre poursuit l'étude de la réduction d'endomorphisme, entamée avec la diagonalisation dans le cours ``Algèbre linéaire''. On se concentre cette fois sur la réduction à la forme de Jordan. Pour ce faire, on étudie d'abord des endomorphismes appelés ``projecteurs'' qui permettent de décomposer l'espace vectoriel sous-jacent en une somme directe de sous-espaces. Ensuite, on définit le polynôme minimum d'un endomorphisme général et en déduisons la définition des sous-espaces caractéristiques. On s'intéresse ensuite aux bases réparties en chaînes associées à un endomorphisme nilpotent. En rassemblant tous ces points, on arrive enfin à considérer la réduction à la forme de Jordan pour un endomorphisme général. L'intérêt de cette réduction est illustré par deux applications : l'étude de suites linéaires récurrentes et de l'exponentielle matricielle.
2) Le deuxième chapitre propose une introduction à l'algèbre bilinéaire. On étudie les formes bilinéaires, leur représentation matricielle, leur rang et leurs noyaux. On s'intéresse ensuite aux formes bilinéaires symétriques, aux formes quadratiques associées et à la notion d'orthogonalité. En particulier, on présente l'algorithme de Gauss et la notion de signature d'une forme quadratique. Enfin, une brève présentation des espaces pré-hilbertiens est proposée.
3) L'objectif du troisième chapitre est d'introduire la notion de forme multilinéaire. On s'intéresse en particulier aux formes multilinéaires alternées, au produit extérieur de formes linéaires et à la notion de déterminant.
Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement
Le but de ce cours est de compléter les bases de l'algèbre linéaire acquises en première année par des sujets faisant traditionnellement partie des classiques de l'algèbre linéaire.
Savoirs et compétences prérequis
L'algèbre linéaire de base telle que vue dans les cours du premier bloc.
Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement
Des exercices font partie intégrante du cours et interagissent avec la partie théorique : ils servent autant à illustrer la théorie que cette dernière sert à les résoudre.
Mode d'enseignement (présentiel, à distance, hybride)
Cours donné exclusivement en présentiel
Explications complémentaires:
Cours ex cathedra du premier quadrimestre donné à l'Institut de mathématiques.
Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours
Des notes de cours sont disponibles sur la plateforme eCampus.
Modalités d'évaluation et critères
Examen(s) en session
Toutes sessions confondues
- En présentiel
évaluation écrite ET évaluation orale
Explications complémentaires:
L'étudiant sera évalué via un examen comportant deux parties:
- Un examen oral portant sur la théorie enseignée et ses applications immédiates.
- Un examen écrit portant sur la résolution d'exercices semblables à ceux proposés au cours et aux séances d'exercices.
Stage(s)
Remarques organisationnelles et modifications principales apportées au cours
Contacts
Laurent Loosveldt
Email : l.loosveldt@uliege.be
Département de Mathématique,
Allée de la Découverte, 12, B37,
4000 Liège Belgium
Bureau 0/59
Vous pouvez également contacter France Gheeraert
E-mail : france.gheeraert@uliege.be